2019年京都大学理系数学 難易度と講評

こんにちは、どうもありえってぃです。

今回は今更ですが、京都大学理系数学を解いてみた感想として、難易度と講評を書いていきたいと思います。

来年京都大学を目指している人向けに「どういった力が求められているか」を記載しているので、気になる方は最後までお付き合いいただけると幸いです。

 まず大問１。

小問2つに分かれていましたね。

(1)は求値問題ではありますが、しっかり論証してね、という問題。

これはいきなり式変形を考えさせられる問題だったので、一番最初に取っかかって上手くいかず嫌な精神状態になってしまった人もいたんじゃないでしょうか。

有理数とあるので、既約分数として表すのか、それともただの1文字で表すのかでも悩むところだったかもしれません。

cos3θがcos2θとcosθで表現できることが分かれば、あとは難しくなかったのではないかと思います。

ただ、見たことがない表現の問題だと思うので難易度は標準ですね。

(2)は定積分の問題でした。

これは受験生には確実に解けて欲しい1問でした。

京大側も点数を稼いでね、という意図があったように感じます。

東大にあったような少しややこしい積分より楽だったと思いますし、難易度は易です。

続いて大問2。

関数の問題のように見せた整数問題でしたね。f(n)のように記載されると関数として解けるんだろうか、などと思わせるのが京大らしくていやらしいなと思います。（笑）

こういう問題はひとまず適当にnに数字を入れていって性質を見てみます。

するとf(n)とf(n+1)の偶奇が異なるぞ、となり、共に素数であることからどちらかが2になってないとおかしいという発想が湧いてきます。

実際nの偶奇に分けてやってみると確からしい現象であることが分かるので、あとはどちらかが2に等しいとして進めていけば解けるはずです。

京大の整数問題は素数がよくでてきますが、「2以外の素数は奇数である」という事実を使う問題が多いので京大受験生はよく覚えておきましょう！

京大受験する人なら上記の事実をよくわかっていたと思うので、難易度としては標準とさせていただきます。

大問3

極論すれば軌跡を求めて積分する、という問題ですが個人的には最も難しかったんじゃないかと思います。

というのも問題文としてはベクトルで解くのか、それとも面積Sがあるので初等幾何で解けるのかも？などと思わせておきながら結局は座標を導入して解く必要があるからです。

すなわち、「何を用いて解けばよいのかが悩ましい」という実に京大らしい問題だからです。

なので京大受験生は、幾何の問題を解くときは常に初等幾何、ベクトル、座標平面の可能性を考えて取り組む必要があります。

計算内容としてはそこまでかもしれませんが、そこにたどり着くまでには試行錯誤がいるので、難易度はやや難です。

大問4

サイコロに関する確率の問題で、起こっている事象の理解自体が少し難しかったんじゃないでしょうか。

ただよくかみ砕いて小さい数字で実験するとイメージが見えてくると思うので、いきなりnとかkを考えるのではなく実験してみることが大事だったかと思います。

京大の確率の問題は確率漸化式を用いることが多いのでそちらを試みた方もいたかもしれませんが、今回はそのまま立式してΣ記号を2回用いて計算するのが素直だったように思います。

ただやはりそこまで迷う部分も少なく、処理能力の問題だと思うので、この問題は標準レベルかなと思います。

大問5

球上の点からなる四角錘の体積の最大値を求める問題。

どうでしょうか、個人的に大問1の次に簡単だったかなと思う問題でした。

というのも問題文的に一見難しいように感じますが、かなり状況がイメージしやすい問題だったからです。

変数は角度でも中心と平面までの距離として設定してもうまくいくと思います。

ただ、これも大問3と同じように、シンプルな幾何の問題として処理するのか、あるいは座標を用いた方がいいのか、等悩む問題ではありました。

単純な幾何の問題として落とし込めれば簡単な教科書の例題レベルだったと思いますので、難易度はやや易といったところでしょうか。

大問6

複素数と対数の複合問題で面白い問題でしたね。

一見なんじゃこれーとなりますが、落ち着いてド・モアブルの定理を用いて処理すると虚数部分が消えてそれらしい不等式が得られるはずです。

ここからは周期を考慮し対数を用いて処理すれば解けるので、見た目ほど難しい問題ではないように思います。

なんとなく式をいじっていたら虚数部分が消えた不等式は得られますし、そのあとも一本道なので難易度は標準でしょうか。

以上難易度をまとめると

大問１

(1)標準

(2)易

大問2　標準

大問3　やや難

大問4　標準

大問5　やや易

大問6　標準

になるので、大問１,5を確実にとり、大問２,４,５のうち１～２個を完答し、部分点も総じて3.5完できれば及第点ではないでしょうか。

ただ、京大の数学の難しさは煩雑な問題の処理能力ではなく、「自分が持っている知識をどう使えばこの問題が解けるか」という点にあります。

他の大学では、難しい計算があるがやればできる、というような一本道の問題が多いですが、京大の場合そもそも「何を使って進んでいけば解ける状態に持っていけるか」、というように言わば問題の前処理段階が難しいと言えます。

基本の解法はマスターした上で、ベクトルなのか、関数なのか、などこういった状況の問題にはこの方法を用いる方が適切である、という事を意識して勉強することが大事になってくると思います。

今回は以上になります。

最後までお付き合いいただきありがとうございました。